Question

【題目】下面是小蕓設計的“過圓外一點作已知圓的切線”的尺規作圖過程．

已知：⊙O 及⊙O 外一點 P．

求作：⊙O 的一條切線，使這條切線經過點 P．

作法：①連接 OP，作 OP 的垂直平分線 l，交 OP 于點 A；

②以 A 為圓心，AO 為半徑作圓，交⊙O 于點 M；

③作直線 PM，則直線 PM 即為⊙O 的切線．

根據小蕓設計的尺規作圖過程，

（1）使用直尺和圓規，補全圖形；(保留作圖痕跡)

（2）完成下面的證明：

證明：連接 OM，

由作圖可知，A 為 OP 中點，

∴OP 為⊙A 直徑，

∴∠ ＝90°（ ）（填推理的依據）

即 OM⊥PM．

又∵點 M 在⊙O 上，

∴PM 是⊙O 的切線．（ ）（填推理的依據）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OMP；直徑所對的圓周角是直角；經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

【解析】

（1）根據作圖步驟利用尺規作圖可得；
（2）①根據“直徑所對圓周角是直角”可得；②根據“經過半徑的外端點，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”可得．

解：（1）補全圖形，如圖所示：

（2）證明：連接OM，
由作圖可知，A為OP中點，
∴OP為⊙A直徑，
∴∠OMP＝90°，（直徑所對的圓周角是直角），
即OM⊥PM．
又∵點M在⊙O上，
∴PM是⊙O的切線．（經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線），
故答案為：OMP；直徑所對的圓周角是直角；經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．