Question

（本題滿分12分）已知，如圖，一次函數與x軸、y軸分別交于點A和點B，A點坐標為（3,0），∠OAB=45°．

（1）求一次函數的表達式；

（2）點P是x軸正半軸上一點，以P為直角頂點，BP為腰在第一象限內作等腰Rt△BPC，連接CA并延長交ｙ軸于點Q．

①若點P的坐標為（4,0）,求點C的坐標，并求出直線AC的函數表達式；

②當P點在x軸正半軸運動時，Q點的位置是否發現變化？若不變，請求出它的坐標；如果變化，請求出它的變化范圍．

Answer 1

（1）；（2）①點C(7,4)；；②點Q的位置不發生變化，點Q的坐標為（0，-3）．

【解析】

試題分析：（1）由∠AOB=90°，∠OAB=45°，可得∠OBA=∠OAB=45°，即OA=OB，由A（3，0），可得B（0，3），代入y=kx+b可得出k，b的值，即可得出一次函數的表達式；

（2）①過點C作x軸的垂線，垂足為D，易證△BOP≌△PDC，進而得出點P，C的坐標，把點A，C的坐標代入y=k1x+b1求解即可；

②由△BOP≌△PDC，可得PD=BO，CD=PO，由線段關系進而得出OA=OB，得出AD=CD，由角的關系可得△AOQ是等腰直角三角形，可得出OQ=OA，即可得出點Q的坐標．

試題解析：【解析】
（1）∵∠AOB=90°，∠OAB=45°，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∴OA=OB，

∵A(3，0)，

∴B(0，3)，

∴，解得，

∴；

（2）①過點C作x軸的垂線，垂足為D，

∵∠BPO+∠CPD=∠PCD+∠CPD=90°，

∴∠BPO=∠PCD，

在△BOP和 △PDC 中，

，

∴ △BOP≌ △PDC（AAS）．

∴PD=BO=3，CD=PO，

∵P(4，0)，

∴CD=PO=4, 則OD=3+4=7，

∴ 點C(7,4)，

設直線AC的函數關系式為，

則，解得，

∴直線AC的函數關系式為；

②點Q的位置不發生變化．

理由：由①知 △BOP≌ △PDC，

當P點在x軸正半軸運動時，仍有△BOP≌ △PDC，

∴PD=BO，CD=PO，

∴PO+PD=CD+OB，

即OA+AD=OB+CD，

又∵OA=OB，

∴AD=CD，

∴∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠QAO=45°，

∴OQ=OA=3，

即點Q的坐標為（0，-3）．

考點：待定系數法求一次函數解析式；全等三角形的判定和性質．