Question

19、已知關于x的一元二次方程x²-2（m-1）x-m（m+2）=0．
（1）若x=-2是這個方程的一個根，求m的值和方程的另一個根；
（2）求證：對于任意實數m，這個方程都有兩個不相等的實數根．

Answer 1

分析：（1）把x=2代入方程得出關于m的方程，求出m的值再代入原方程求出x的另一個根．
（2）求證：對于任意實數m，這個方程都有兩個不相等的實數根，只要證明△＞0，即可得出方程有兩不相等的實數根．

解答：解：（1）把x=-2代入方程，得4-2（m-1）•（-2）-m（m+2）=0．
即m²-2m=0．
解得m₁=0，m₂=2．
當m=0時，原方程為x²+2x=0．
則方程的另一個根為x=0．
當m=2時，原方程為x²-2x-8=0，則方程的另一個根為x=4．

（2）證明：△=[-2（m-1）]²-4×[-m（m+2）]=8m²+4．
∵對于任意實數m，m²≥0．
∴8m²+4＞0．
∴對于任意實數m，這個方程都有兩個不相等的實數根．

點評：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
并且本題考查了方程的解得定義，就是能使方程左右兩邊相等的未知數的值．