Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓O交BC于點D，DE⊥AC，垂足為E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）如果⊙O的直徑為9，cosB=，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先連接OD、AD，由于OD=OA，易知∠ODA=∠OAD，而AB=AC，AD⊥BC，結合等腰三角形三線合一定理，易證∠ODA=∠CAD，又由于DE⊥AC，那么∠EDA+∠CAD=90°，等量代換有∠EDA+∠ODA=90°，即可證DE是⊙O的切線；
（2）AB是直徑，那么∠ADB=90°，在Rt△ADB中，利用cosB=，AB=9，易求BD，進而可求CD，再在Rt△CDE中，利用∠C的余弦，可求CE，再利用勾股定理可求DE．
解答：解：（1）答：DE是⊙O的切線．
證明：連接OD，AD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
又∵DE⊥AC，
∴∠EDA+∠CAD=90°，
∴∠EDA+∠ODA=90°，
即：OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，
∵cos∠B==，AB=9，
∴BD=CD=3，
在Rt△CDE中，
∵cos∠C=，
∴CE=CD•cos∠C=3•cos∠B=3×=1，
∴DE==2．
點評：本題考查了等腰三角形三線合一定理、切線的判定和性質、余弦的計算、勾股定理．解題的關鍵是連接OD，AD，構造等腰三角形和直角三角形，以及求出CE．