Question

6．在平面直角坐標系中，已知點P是反比例函數y=-$\frac{2\sqrt{3}}{x}$圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．
（1）當⊙P運動到與x軸也相切于K點時，如圖1，試判斷四邊形OAPK的形狀，并說明理由；
（2）當⊙P運動到與x軸相交于B、C兩點時，且四邊形ACBP為菱形，如圖2，求A、B、C三點的坐標．

Answer 1

分析 （1）先利用切線的性質得出四邊形OAPK是矩形，再判斷出PA=PK即可得出結論；
（2）設出點P的坐標，利用菱形的性質和圓的性質得出△PBC是等邊三角形，即可求出m的值，進而得出A的坐標，再利用勾股定理求出OC即可得出C的坐標，最后得出B的坐標．

解答 解：（1）四邊形OAPK是正方形，
理由：∵P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．
∴∠OAP=90°，
∵⊙P運動到與x軸也相切于K點，
∴∠OKP=90°，
∵∠AOK=90°，
∴∠OAP=∠AOK=∠OKP=90°，
∴四邊形OAPK是矩形，
∵⊙P和x，y軸都相切，
∴AP=KP，
∴矩形OAPK是正方形．
（2）如圖，設P（m，-$\frac{2\sqrt{3}}{m}$），
連接PC，過點P作PD⊥BC于D，
∴PB=PC，
∵四邊形ACBP為菱形，
∴PA=PB=BC=|m|=-m，
∴PB=PC=BC=-m，
∴△PBC是等邊三角形，
在Rt△PBD中，BD=$\frac{1}{2}$BC=-$\frac{1}{2}$m，
∴PD=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∵P（m，-$\frac{2\sqrt{3}}{m}$），
∴-$\frac{2\sqrt{3}}{m}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴m=2（舍）或m=-2，
∴P（-2，$\sqrt{3}$），
∴AP=2，A（0，$\sqrt{3}$）．
∴OA=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOC中，AC=AP=2，
∴OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=1，
∴C（-1，0），OB=BC+OC=AP+OC=3，
∴B（-3，0），
即：A（0，$\sqrt{3}$）．B（-3，0），C（-1，0）．

點評 此題是反比例函數綜合題，主要考查了正方形，矩形的判定和性質，菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，切線的性質，解本題的關鍵是得出點P的坐標，是一道比較簡單的涉及知識點比較多的綜合題．