Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+x+c與直線交于點A和點E，點A在x軸上．拋物線y＝ax2+x+c與x軸另一個交點為點B，與y軸交于點C（0，），直線與y軸交于點D．

（1）求點D的坐標和拋物線y＝ax2+x+c的函數表達式；

（2）動點P從點B出發，沿x軸以每秒2個單位長度的速度向點A運動，動點Q從點A出發沿射線AE以每秒1個單位長度的速度向點E運動，當點P到達點A時，點P、Q同時停止運動．設運動時間為t秒，連接AC、CQ、PQ．

①當△APQ是以AP為底邊的等腰三角形時，求t的值；

②在點P、Q運動過程中，△ACQ的面積記為S1，△APQ的面積記為S2，S＝S1+S2，當S＝時，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數表達式為；（2）①；②．

【解析】

（1）根據題意首先求出A、D的坐標，再利用待定系數法即可解決問題；

（2）①如圖1，過點Q作QF⊥AP于點F，則AF＝PF＝AP＝（5﹣2t），AQ＝t，證得OD∥QF，得出，可求出t的值；

②如圖2，過點C作CM⊥AQ于點M，過點Q作QN⊥x軸于點N，證明△AOD∽△CMD，求出CM，則S1可用t表示，證明△AOD∽△AQN，求出QN，則S2可用t表示，則可得出t的方程，解方程即可得出答案．

解：（1）∵直線與y軸交于點D，

∴x＝0時，y＝，

∴D（0，），

∵直線與x軸交于點A，

∴y＝0時，＝0，

∴x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵拋物線y＝ax2+x+c經過點A（﹣1，0），C（0，），

∴，

解得：，

∴拋物線的函數表達式為；

（2）①如圖1，過點Q作QF⊥AP于點F，

若AQ＝PQ，則AF＝PF＝AP＝（5﹣2t），AQ＝t，

∵OD⊥AP，QF⊥AP，

∴OD∥QF，

∴，

∵D（0，），A（﹣1，0），

∴OD＝，AO＝1，

∴AD＝＝＝，

∴，

解得：t＝．

∴t＝時，△APQ是以AP為底邊的等腰三角形．

②如圖2，過點C作CM⊥AQ于點M，過點Q作QN⊥x軸于點N，

∵∠ADO＝∠CDM，∠AOD＝∠CMD＝90°，

∴△AOD∽△CMD，

∴，

∵CD＝OC﹣OD＝，AD＝，OA＝1，

∴，

∴CM＝，

∴S△ACQ＝S1＝AQ×CM＝＝，

∵OD⊥x軸，QN⊥x軸，

∴OD∥QN，

∴△AOD∽△AQN，

∴，

∴，

∴QN＝t，

∴S△APQ＝S2＝AP×QN＝＝，

∵S1+S2＝，

∴，

∴，

解得：t＝．

即當S＝時，t的值為．