Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于A（12，0），B（0，16），點C從B點出發向y軸負方向以每秒2個單位的速度運動，過點C作CE⊥AB于點E，點D為x軸上動點，連結CD，DE，以CD，DE為邊作CDEF．設運動時間為t秒．

（1）求點C運動了多少秒時，點E恰好是AB的中點？

（2）當t=4時，若CDEF的頂點F恰好落在y軸上，請求出此時點D的坐標；

（3）點C在運動過程中，若在x軸上存在兩個不同的點D使CDEF成為矩形，求出滿足條件的t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點C運動了6.25秒時，點E恰好是AB的中點；（2）D（，0）；（3）

【解析】

（1）在Rt△AOC中，利用勾股定理構建方程即可解決問題；
（2求出直線CE解析式，利用方程組確定點E坐標即可解決問題；
（3）求出兩個特殊位置的時間t即可解決問題．①當點C在y軸的正半軸上時，設以EC為直徑的⊙P與x軸相切于點D，作ER⊥OA于R．求出此時的時間t；
②當點C′在y軸的負半軸上時，設以E′C′為直徑的⊙P′與x軸相切于點D′，作E′K⊥OA于K．求出此時的時間t；

（1）根據題意知BC=2t、BO=16、OA=12，則OC=16﹣2t，

∵CE⊥AB且E為AB中點，∴CB=CA=2t，

在Rt△AOC中，由OC2+OA2=AC2可得（16﹣2t）2+122=（2t）2，解得：t=6.25，

即點C運動了6.25秒時，點E恰好是AB的中點；

（2）如圖1中， 當t=4時，BC=OC=8，∵A（12，0），B（0，16），

∴直線AB的解析式為y=﹣x+16，∵CE⊥AB，C（0，8），∴直線CE的解析式為y=x+8，，解得，∴E（ ，），∵點F在y軸上，∴DE∥y軸，∴D（，0）．

（3）如圖2中，

①當點C在y軸的正半軸上時，設以EC為直徑的⊙P與x軸相切于點D，作ER⊥OA于R．

根據PD=（OC+ER），可得： t= [16﹣2t+（20﹣t）×]，解得t=．

②當點C′在y軸的負半軸上時，設以E′C′為直徑的⊙P′與x軸相切于點D′，作E′K⊥OA于K．

根據P′D′=（OC′+E′K），可得： t= [2t﹣16+（t﹣20）×]，解得t=，

綜上所述，點C在運動過程中，若在x軸上存在兩個不同的點D使CDEF成為矩形，滿足條件的t的取值范圍為＜t＜．