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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AB=2,D是邊BC的中點,點P從點A出發(fā),沿AB﹣BD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動.同時點Q從點C出發(fā),沿CA﹣AC以每秒1個單位長度的速度運動.當點P停止運動時,點Q也隨之停止運動,設點P的運動時間為t(秒),△PQD的面積為S.

(1)求線段PB的長(用含t的代數(shù)式).

(2)當△PQD是等邊三角形時,求t的值.

(3)當S>0時,求S與t的函數(shù)關系式.

(4)若點D關于直線PQ的對稱點為點D′,且S>0,直接寫出點D′落在△ABC的邊上時t的值.

【答案】(1)BP=t﹣2;(2)1;(3)當0≤t≤2時,,當2<t<3時,(4)1或2.5.

【解析】

試題分析: (1)根據(jù)當0≤t≤2和2≤t≤3時兩種情況進行解答即可;

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和AAS證明△BPD與△CDQ全等解答即可;

(3)根據(jù)當0≤t≤2和2<t<3時兩種情況,利用三角函數(shù)和三角形面積公式解答即可.

(4)根據(jù)點D′落在△ABC的邊上兩種情況解答即可.

試題解析:(1)∵△ABC是等邊三角形,AB=2,

∴當0≤t≤2時,BP=2﹣t;

當2≤t≤3時,BP=t﹣2;

(2)如圖1,∵△PQD是等邊三角形,

∴∠PDQ=60°,

∴∠PDB+∠CDQ=120°,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠B=∠C=60°,

∴∠PDB+∠BPD=120°,

∴∠BPD=∠CDQ,

∵BD=CD,

在△BPD與△CDQ中,

∴△BPD≌△CDQ(AAS),

∴BP=CQ,

∴2﹣t=t,

∴t=1,

(3)當0≤t≤2時,如圖2,連接AD,

∵△ABC是等邊三角形,D是邊BC的中點,

∴∠ADB=90°,

∴AD=ABsin60°=,

分別過點P,Q作PE⊥BC,QF⊥BC,垂足分別為點E,F(xiàn),

在Rt△BPE中,∠BEP=90°,PE=PBsin60°=,

在Rt△QCF中,∠QFC=90°,QF=CQsin60°=,

過點Q作QG⊥AB于點G,

在Rt△AGQ中,∠AGQ=90°,QG=AQsin60°=

∴S△PQD=S△ABC﹣S△BPD﹣S△QCD﹣S△APQ,

,

當2<t<3時,如圖3

過點Q作QH⊥BC于點H,

在Rt△CQH中,∠CHQ=90°,

QH=CQsin60°=

,

(4)點D′落在△ABC的邊上,如圖4,此時t=1;

點D′落在△ABC的邊上,如圖5,此時t=2.5.

練習冊系列答案
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