Question

如圖，O是直線AB上的點，
（1）若OD是∠AOC的平分線，OE是∠COB的平分線，求∠DOE的度數；
（2）若∠DOE=90°，OD平分∠AOC，OE是否平分∠BOC？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于OD是∠AOC的平分線，OE是∠COB的平分線，所以∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，所以∠DOE的度數是平角度數的一半．
（2）要證OE平分∠BOC，只需證∠BOE=∠COE，由于∠DOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°，進而可以證得∠COE=∠BOE．

解答：解：（1）∵OD是∠AOC的平分線，OE是∠COB的平分線，
∴∠DOC=

1

2

∠AOC，∠COE=

1

2

∠BOC，
∴∠DOE=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOC=

1

2

∠AOB，
又∵點O是直線AB上的點，
∴∠DOE=

1

2

∠AOB=90°．

（2）若∠DOE=90°，OD平分∠AOC，OE也平分∠BOC，
其理由如下：
∵OD是∠AOC的平分線，
∴∠DOC=

1

2

∠AOC，
又∠DOE=90°，
∴∠COE=90°-∠DOC=90°-

1

2

∠AOC，
又O是直線AB上的點，
∴∠BOC=180°-∠AOC，
即

1

2

∠BOC=90°-

1

2

∠AOC，
∴∠COE=

1

2

∠BOC，
即OE是∠COB的平分線．

點評：解決角的比較與運算類問題時，充分利用已知條件和隱含條件（平角、余角、補角、對頂角等）是解題的關鍵．