Question

【題目】如圖，在直角三角形中，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，將沿翻折，得到，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

（1）判斷的形狀為 ；

（2）當(dāng)時(shí)，求證四邊形為正方形；

（3）若，連接，當(dāng)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到DE∥BC，求得∠BEF=∠ABC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠ABC=∠ABC′，求得∠BEF=∠EBF，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠C′=∠C=90°，AC=AC′，根據(jù)平行線的判定定理得到DF∥AC′，推出四邊形ACBC′是矩形，由于AC=AC′，于是得到四邊形ACBC′是正方形；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到C′E=BE=AE=AB=2，求得∠EC′B=∠C′BE，過F作FH⊥BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EFH=∠BFH，根據(jù)平角的定義得到∠C′FE=∠FEH=60°，于是得到∠ADE=∠FEH=30°，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，

，

，

∵將沿翻折，得到，

，

，

是等腰三角形；

故答案為：等腰三角形；

（2）∵將沿翻折，得到，

，，

，

，

，

，

，

，

∴四邊形是矩形，

，

∴四邊形是正方形；

（3）為的中點(diǎn)，

，

，

過作，

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，

，

，

，

，

，

，

，，

．