Question

．如圖（1）,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足為D,點E在AC上,BE交CD于點G,EF⊥BE交AB于點F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n為實數).
試探究線段EF與EG的數量關系.

(1)如圖（2）,當m=1,n=1時,EF與EG的數量關系是                  
證明:
(2) 如圖（3）,當m=1,n為任意實數時,EF與EG的數量關系是                  
證明
(3)如圖（1）,當m,n均為任意實數時,EF與EG的數量關系是                  
(寫出關系式,不必證明)

Answer 1

（1）圖甲：連接DE，


∵AC=mBC，CD⊥AB，當m=1，n=1時
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=AB，
∵AE=nEC，
∴DE=AE=EC=AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．
（2）解：EF=EG證明：作EM⊥AB于點M，EN⊥CD于點N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴
即EM=CD，
同理可得，EN=AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴tanA=，
∴，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴，
即EF=EG；
（3）EF=EG．

略