Question

24、閱讀下面的材料：
如圖（1），在以AB為直徑的半圓O內有一點P，AP、BP的延長線分別交半圓O于點C、D．
求證：AP•AC+BP•BD=AB²．
證明：連接AD、BC，過P作PM⊥AB，則∠ADB=∠AMP=90°，
∴點D、M在以AP為直徑的圓上；同理：M、C在以BP為直徑的圓上．
由割線定理得：AP•AC=AM•AB，BP•BD=BM•BA，
所以，AP•AC+BP•BD=AM•AB+BM•AB=AB•（AM+BM）=AB²．
當點P在半圓周上時，也有AP•AC+BP•BD=AP²+BP²=AB²成立，那么：
（1）如圖（2）當點P在半圓周外時，結論AP•AC+BP•BD=AB²是否成立？為什么？
（2）如圖（3）當點P在切線BE外側時，你能得到什么結論？將你得到的結論寫出來．

Answer 1

分析：（1）連接BC，AD，根據圓周角定理及四邊形的對角互補得到，點C、D在以PM為直徑的圓上，由割線定理得到AC•AP=AM•MD，BD•BP=BM•BC，對其進行整理即可得到結論．
（2）過P作PM⊥AB，交AB的延長線于M，連接AD、BC，由割線定理得AP•AC=AB•AM，BP•BD=AB•BM，由圖象可知：AB=AM-BM，對三個式子進行整理即可得到所求的結論．

解答：
解：（1）成立．
證明：如圖（2），∵∠PCM=∠PDM=90°，
∴點C、D在以PM為直徑的圓上，
∴AC•AP=AM•MD，BD•BP=BM•BC，
∴AC•AP+BD•BP=AM•MD+BM•BC；
∵AM•MD+BM•BC=AB²，
∴AP•AC+BP•BD=AB²．

（2）如圖（3），過P作PM⊥AB，交AB的延長線于M，連接AD、BC，則C、M在以PB為直徑的圓上；
∴AP•AC=AB•AM①，
∵D、M在以PA為直徑的圓上，
∴BP•BD=AB•BM②，
由圖象可知：AB=AM-BM③
由①②③可得：AP•AC-BP•BD=AB•（AM-BM）=AB²．

點評：本題利用了四點共圓的判定，割線定理，直徑對的圓周角是直角求解．