Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D點，O是AB上一點，經過A、D兩點的⊙O分別交AB、AC于點E、F．

（1）用尺規補全圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）求證：BC與⊙O相切；

（3）當AD=2，∠CAD=30°時，求劣弧AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）π

【解析】

（1）作AD的垂直平分線交AB于點O，以OA為半徑畫圓O分別交AB、AC于點E、F，則圓O即為所求；

（2）連接OD，得到OD＝OA，根據等腰三角形的性質得到∠OAD＝∠ODA，等量代換得到∠ODA＝∠CAD，根據平行線的判定定理可得，OD∥AC，再根據平行線的性質可求證結論；

（3）連接DE，根據圓周角定理得到∠ADE＝90°，根據三角形內角和定理得到∠AOD＝120°，根據三角函數的定義得到AE＝，再根據弧長公式可得結論．

（1）解：如圖所示，

（2）證明：連結OD，則OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

即BC⊥OD，

∵BC經過半徑OD的外端

∴BC與⊙O相切；

（3）解：連接DE，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，

∴∠AOD=120°，

在Rt△ADE中，

AE= = ＝4，

∴⊙O的半徑=2，

∴劣弧AD的長==π．