Question

某水渠的橫截面呈拋物線，水面的寬度為AB（單位：米），現以AB所在直線為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設坐標原點為O．已知AB=8米，設拋物線解析式為y=ax²-4．
（1）求a的值；
（2）點C（-1，m）是拋物線上一點，點C關于原點O的對稱點為點D，連接CD，BC，BD，求△BCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據y軸為對稱軸，AB=8，可得B（4，0），把B點坐標代入解析式即可求得a的值；
（2）根據（1）求得a的值，求出解析式，把C點坐標代入求得m的值，然后根據D、C關于原點對稱求出D點坐標，然后根據S_△BCD=S_△BOD+S_△BOC求出面積即可．
解答：解：（1）∵AB=8，由拋物線的性質可知OB=4，
∴B（4，0），
把B點坐標代入解析式得：16a-4=0，
解得：a=；

（2）過點C作CE⊥AB于E，過點D作DF⊥AB于F，
∵a=，
∴y=x²-4，
令x=-1，
∴m=×（-1）²-4=-，
∴C（-1，-），
∵C關于原點對稱點為D，
∴D的坐標為（1，），
則CE=DF=，
S_△BCD=S_△BOD+S_△BOC=OB•DF+OB•CE=×4×+×4×=15，
∴△BCD的面積為15平方米．
點評：本題考查了二次函數的應用，難度適中，解答本題的關鍵是熟練掌握用待定系數法函數解析式．