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如圖,梯形ABCD是等腰梯形,且AD∥BC,O是腰CD的中點,以CD長為直徑作圓,交BC于E,過E作EH⊥AB于H.EH=CD,
(1)求證:OE∥AB;
(2)求證:AB是⊙O的切線;
(3)若BE=4BH,求的值.

【答案】分析:(1)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)可以判斷出∠B=∠OEC,然后由同位角相等得出OE∥AB;
(2)作輔助線(過點O作OF⊥AB于點F,過點O作OG∥BC交AB于點G)構(gòu)建平行四邊形OEHF,然后由“平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)”、已知條件求得OF=EH=CD,即OF是⊙O的半徑;最后根據(jù)切線的判定得出結(jié)論;
(3)求出△EHB∽△DEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理解答.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是等腰梯形,且AD∥BC,
∴AB=CD,∠B=∠C;
又∵CD是直徑,點O是腰CD的中點,
∴點O是圓心,
∴OE=OC,
∴∠OEC=∠C(等邊對等角),
∴∠OEC=∠B(等量代換),
∴OE∥AB(同位角相等,兩直線平行);

(2)證明:過點O作OF⊥AB于點F.
∵由(1)知,OE∥AB,
∴OE∥FH;
又∵EH⊥AB,
∴FO∥HE,
∴四邊形OEHF是平行四邊形(有兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形),
∴OF=EH(平行四邊形的對邊相等);
∵EH=CD,
∴OF=CD,即OF是⊙O的半徑,
∴AB是⊙O的切線;

(3)解:連接DE.
∵CD是直徑,
∴∠DEC=90°(直徑所對的圓周角是直角),則∠DEC=∠EHB,
又∵∠B=∠C,
∴△EHB∽△DEC,
=
∵BE=4BH,
∴設(shè)BH=k,則BE=4k,EH==k;
∴CD=2EH=2k
===
點評:本題考查了圓的切線性質(zhì),運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點,利用垂直構(gòu)造直角三角形、矩形解決有關(guān)問題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖等腰梯形ABCD是⊙O的外切四邊形,O是圓心,腰長4cm,則∠BOC=
 
度,梯形中位線長
 
cm.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖等腰梯形ABCD是過街天橋的示意圖,已知天橋的斜面坡度為1:
3
,橋高DE=5米,那么斜面CD的長等于
 
米.
精英家教網(wǎng)

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(2012•涼山州)如圖,梯形ABCD是直角梯形.
(1)直接寫出點A、B、C、D的坐標;
(2)畫出直角梯形ABCD關(guān)于y軸的對稱圖形,使它與梯形ABCD構(gòu)成一個等腰梯形.
(3)將(2)中的等腰梯形向上平移四個單位長度,畫出平移后的圖形.(不要求寫作法)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•張家口一模)如圖,梯形ABCD是一個攔河壩的截面圖,壩高為6米.背水坡AD的坡度i為1:1.2,為了提高河壩的抗洪能力,防汛指揮部決定加固河壩,若壩頂CD加寬0.8米,新的背水坡EF的坡度為1:1.4.河壩總長度為4800米.
(1)求完成該工程需要多少方土?
(2)某工程隊在加固600米后,采用新的加固模式,這樣每天加固長度是原來的2倍,結(jié)果只用9天完成了大壩加固的任務(wù).請你求出該工程隊原來每天加固的米數(shù).

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,梯形ABCD是世紀廣場的示意圖,上底AD=90m,下底BC=150m,高100m,虛線MN是梯形ABCD的中位線.要設(shè)計修建寬度相同的一條橫向和兩條縱向大理石通道,橫向通道EGHF位于MN兩旁,且EF、GH與MN之間的距離相等,兩條縱向通道均與BC垂直,設(shè)通道寬度為xm.
(1)試用含x的代數(shù)式表示橫向通道EGHF的面積s1
(2)若三條通道的面積和恰好是梯形ABCD面積的
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時,求通道寬度為x;
(3)經(jīng)測算大理石通道的修建費用y1(萬元)與通道寬度為xm的關(guān)系式為:y1=14x,廣場其余部分的綠化精英家教網(wǎng)費用為0.05萬元/m2,若設(shè)計要求通道寬度x≤8m,則寬度x為多少時,世紀廣場修建總費用最少?最少費用為多少?

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