Question

如圖，梯形ABCD是世紀廣場的示意圖，上底AD=90m，下底BC=150m，高100m，虛線MN是梯形ABCD的中位線．要設計修建寬度相同的一條橫向和兩條縱向大理石通道，橫向通道EGHF位于MN兩旁，且EF、GH與MN之間的距離相等，兩條縱向通道均與BC垂直，設通道寬度為xm．
（1）試用含x的代數式表示橫向通道EGHF的面積s₁；
（2）若三條通道的面積和恰好是梯形ABCD面積的

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時，求通道寬度為x；
（3）經測算大理石通道的修建費用y₁（萬元）與通道寬度為xm的關系式為：y₁=14x，廣場其余部分的綠化費用為0.05萬元/m²，若設計要求通道寬度x≤8m，則寬度x為多少時，世紀廣場修建總費用最少？最少費用為多少？

Answer 1

分析：（1）由于上底AD=90m，下底BC=150m，利用中位線的性質可以求出中位線的長度，然后利用梯形的面積公式即可求解；
（2）由于三條通道的面積和恰好是梯形ABCD面積的

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，由此可以列出方程120x+2×100x-2x2=

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×

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×(90+150)×100，解方程即可求解；
（3）利用（2）和已知條件可以得到函數解析式，然后利用二次函數的性質即可求解．

解答：解：（1）∵上底AD=90m，下底BC=150m，∴中位線的長度為：（90+150）÷2=120，
∴s₁=120x；

（2）根據題意得：120x+2×100x-2x2=

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×

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×(90+150)×100，
解得：x₁=10，x₂=150（不合題意，舍去），
∴通道寬度為10m；

（3）依題意得
y=0.05（12000-320x+2x²）+14x=0.1（x-10）²+590，
∵x≤8，
∴當x=8時，y有最小值590.4（萬元） 
∴寬度為8m時，世紀廣場修建總費用最少，最少費用為590.4萬元．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應用及二次函數的性質，解題時首先正確理解題意，然后根據題意列出方程和函數解析式，解方程或利用二次函數的性質就可以解決問題．