Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點．
（1）證明：△BEF≌△DFE；
（2）若∠BEC=90°，H是EC與FD的交點，G是EB的中點，探索GH與EF的大小關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意得AD平行且等于BC．再根據E、F分別是AD、BC的中點，得ED平行且等于BF，可證明△BEF≌△DFE．
（2）GH=EF；由（1）得ED∥FC且ED=FC，即可證明四邊形EFCD是平行四邊形，則H是EC的中點；可證明GH=BC，EF=BC，從而得出GH=EF．
解答：（本小題滿分8分）
（1）證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以，AD平行且等于BC．
又E、F分別是AD、BC的中點，
所以，ED平行且等于BF，
所以，∠DEF=∠BFE，而EF為公共邊，
所以△BEF≌△DFE．…（4分）

（2）GH=EF
證明：由（1）知：ED∥FC且ED=FC，所以，四邊形EFCD是平行四邊形，得H是EC的中點；
又G是EB的中點，∴GH=BC
∵∠BEC=90°，F是BC的中點
∴EF=BC∴GH=EF…（8分）（方法不唯一，合理即可）
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質、三角形的中位線定理．