Question

如圖：在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，O為BC的中點，M，N分別在AB，AC上，且AN=BM．
①判斷△OMN的形狀，并證明你的結論；
②判斷四邊形AMON的面積有變化嗎？為什么？
③設AN=x，AC=2，△OMN的面積為y，求y關于x的關系式，并求當x為何值時，y的值最大．

Answer 1

【答案】分析：①先從直觀上猜想，再從理論上尋找依據．從O為BC的中點想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以連OA，利用等腰三角形的性質結合AN=BM，易證△AON≌△BOM，判斷△OMN的形狀；
②根據△AON≌△BOM，易證四邊形AMON的面積=△AOB的面積=S_△ABC，所以不變；
③S_△OMN=S_{四邊形AMON}-S_△AMN=S_△ABC-AN•AM，據此得函數表達式求解．
解答：解：
①等腰直角三角形．（1分）
連接AO，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，O為BC的中點，
∴AO⊥BC，AO=OB，∠NAO=45°，
又∵∠B=45°，AN=BM，
∴△AON≌△BOM，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM．
∵∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，即∠MON=90°，
所以△MON是等腰直角三角形；

②不變．（1分）
∵△AON≌△BOM
∴S_{四邊形AMON}=S_△AOB=S_△ABC，所以不變；（2分）

③y=S_△OMN=S_{四邊形AMON}-S_△AMN=S_△ABC-AN•AM
=-x（-x）=2-x（2-x）=-x²-x+2（0＜x＜2）（3分）
∵-＜0，
∴函數有最大值，當x=-=時，屬于0＜x＜2，y最大==1．（1分）
點評：直角三角形中連接直角頂點和斜邊中點構成斜邊上的中線是常作的輔助線．