Question

（2004•山西）已知：如圖，過平行四邊形ABCD的對角線交點O作互相垂直的兩條直線EG、FH與平行四邊形ABCD各邊分別相交于點E、F、G、H．求證：四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

【答案】分析：根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．由已知條件證明OE=OG，同理OF=OH，所以四邊形EFGH是平行四邊形，又因為EG⊥FH，所以四邊形EFGH是菱形．
解答：證明：在平行四邊形ABCD中，OD=OB，OA=OC，
AD∥CB，（1分）
∴∠OBG=∠ODE．（2分）
又∵∠BOG=∠DOE，
∴△OBG≌△ODE．（4分）
∴OE=OG．（5分）
同理OF=OH．（6分）
∴四邊形EFGH是平行四邊形．（7分）
又∵EG⊥FH，
∴平行四邊形EFGH是菱形．（8分）
點評：此題主要考查菱形的判定，綜合利用平行四邊形的判定．