Question

設A=100!=12ⁿ•M，其中M，n均是自然數，則n的最大值是多少？

Answer 1

考點：取整計算

專題：

分析：分別找到1至100中包含質因數3的次數，包含質因數2的次數，從而得到100!的結果包含因數12的次數，從而求解．

解答：解：1至100中，
3¹的倍數共有100÷3個，整商=33個；
3²的倍數共有100÷（3×3），整商=11個；
3³的倍數共有100÷（3×3×3），整商=3個；
3⁴的倍數共有100÷（3×3×3×3），整商=1個；
所以100!的結果包含質因數3的次數是33+11+3+1=48．
2¹的倍數共有100÷2，整商=50個；
2²的倍數共有100÷（2×2），整商=25個；
2³的倍數共有100÷（2×2×2），整商=12個；
2⁴的倍數共有100÷（2×2×2×2），整商=6個；
2⁵的倍數共有100÷（2×2×2×2×2），整商=3個；
2⁶的倍數共有100÷（2×2×2×2×2×2），整商=1個；
所以100!的結果包含質因數2的次數是50+25+12+6+3+1=97；
2⁹⁷=4⁴⁸×2，
3⁴⁸×4⁴⁸=12⁴⁸．
所以，100!的結果包含因數12的次數是48．
故n的最大值是48．

點評：考查了取整計算，簡單解答：100!中含有3⁴⁸和2⁹⁷（也就是4⁴⁸×2），依此可得100!的結果包含因數12的次數．