Question

（2006•濟南）如圖1，以矩形OABC的兩邊OA和OC所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，A點的坐標為（3，0），C點的坐標為（0，4）．將矩形OABC繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，使B點落在y軸的正半軸上，旋轉(zhuǎn)后的矩形為OA₁B₁C₁，BC，A₁B₁相交于點M．
（1）求點B₁的坐標與線段B₁C的長；
（2）將圖1中的矩形OA₁B₁C₁沿y軸向上平移，如圖2，矩形PA₂B₂C₂是平移過程中的某一位置，BC，A₂B₂相交于點M₁，點P運動到C點停止．設(shè)點P運動的距離為x，矩形PA₂B₂C₂與原矩形OABC重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）如圖3，當點P運動到點C時，平移后的矩形為PA₃B₃C₃．請你思考如何通過圖形變換使矩形PA₃B₃C₃與原矩形OABC重合，請簡述你的做法．

Answer 1

【答案】分析：（1）用勾股定理求矩形OABC的對角線OB長，得點B₁的坐標；B₁C=B₁O-OC；
（2）求分段函數(shù)，以A₂落在BC上的時刻為界，將函數(shù)分為兩段，畫出圖形，分別求函數(shù)解析式；
（3）屬于開放性問題，解法多種，主要是圍繞旋轉(zhuǎn)，平移軸對稱解題．
解答：解：（1）如圖1，因為OB₁=OB==5，
所以點B₁的坐標為（0，5）．
因為C（0，4），所以O(shè)C=4，
則B₁C=OB₁-OC=5-4=1．

（2）在矩形OA₁B₁C₁沿y軸向上平移到P點與C點重合的過程中，點A₁運動到矩形OABC的邊BC上時，
重疊部分的面積為三角形PA₂C的面積，A₂C==，又A₂P=3，
根據(jù)勾股定理得：CP=，即4-x=
求得P點移動的距離．
當自變量x的取值范圍為0≤x＜時，
如圖2，由△B₂CM₁∽△B₂A₂P，
得CM₁=，此時，y=S_△B2A2P-S_△B2CM1=×3×4-×（1+x），
即y=-（x+1）²+6（或y=-x²-x+）．
當自變量x的取值范圍為≤x≤4時，
求得y=S_△PCM1′=（x-4）²（或y=x²-x+）．

（3）答案：
①把矩形PA₃B₃C₃沿∠BPA₃的角平分線所在直線對折．
②把矩形PA₃B₃C₃繞C點順時針旋轉(zhuǎn)，使點A₃與點B重合，再沿y軸向下平移4個單位長度．
③把矩形PA₃B₃C₃繞C點順時針旋轉(zhuǎn)，使點A₃與點B重合，再沿BC所在的直線對折．
④把矩形PA₃B₃C₃沿y軸向下平移4個單位長度，再繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，使點A₃與點A重合．
提示：本問只要求整體圖形的重合，不必要求圖形原對應(yīng)點的重合．
點評：本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)、平移、折疊變換知識，是一道動態(tài)問題．