Question

（2013•河池）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是BC、CD上的兩個動點，且AE⊥EF．則AF的最小值是

5

．

Answer 1

分析：設BE=x，則EC=4-x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，則可判斷Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=

x(4-x)

4

，則DF=4-FC=4-

x(4-x)

4

=

1

4

x²-x+4=

1

4

（x-2）²+3，所以x=2時，DF有最小值3，而AF²=AD²+DF²，即DF最小時，AF最小，AF的最小值為

42+32

=5．

解答：解：設BE=x，則EC=4-x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴

AB

EC

=

BE

FC

，即

4

4-x

=

x

FC

，解得FC=

x(4-x)

4

，
∴DF=4-FC=4-

x(4-x)

4

=

1

4

x²-x+4=

1

4

（x-2）²+3
當x=2時，DF有最小值3，
∵AF²=AD²+DF²，
∴AF的最小值為

42+32

=5．
故答案為：5．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組對應邊的比相等，并且它們的夾角也相等，那么這兩個三角形相似；相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．也考查了正方形的性質以及二次函數的最值問題．