Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC于點D，交AC于點E，過點D作DF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若過A點且與BC平行的直線交BE的延長線于G點，連接CG．當△ABC是等邊三角形時，求∠AGC的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，OD，根據等腰三角形的性質與平行線的性質，可得DF⊥OD，故得到證明；
（2）根據題意，△ABC是等邊三角形，可得BG是AC的垂直平分線，再根據平行線的性質，可得△ACG是等邊三角形，故∠AGC=60°．
解答：（1）證明：連接AD，OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC．（2分）
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD=DC，
又∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，（4分）
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切線．（5分）

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴BG⊥AC．
∵△ABC是等邊三角形，
∴BG是AC的垂直平分線，
∴GA=GC．（7分）
又∵AG∥BC，∠ACB=60°，
∴∠CAG=∠ACB=60°．
∴△ACG是等邊三角形．
∴∠AGC=60°．（9分）
點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，及角度的大小的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．