Question

1．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2AB，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．
（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；
（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，
①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒．當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值；
②若點P、Q的速度分別為v₁、v₂（cm/s），點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，試探究a與b滿足的數量關系．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定，根據勾股定理即可求AF的長；
（2）①分情況討論可知，P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可；
②由①的結論用v₁、v₂表示出A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時所需的時間，計算即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
∵在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}\\{∠AEF=∠CFE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF．
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形．
設菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5；
（2）①解：根據題意得，P點AF上時，Q點CD上，此時A，C，P，Q四點不可能構成平行四邊形；
同理P點AB上時，Q點DE或CE上，也不能構成平行四邊形．
∴只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，
∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，
∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=$\frac{4}{3}$秒；
②由①得，PC=QA時，以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，
設運動時間為y秒，
則yv₁=12-yv₂，
解得，y=$\frac{12}{{v}_{1}+{v}_{2}}$，
∴a=$\frac{12}{{v}_{1}+{v}_{2}}$×v₁，b=$\frac{12}{{v}_{1}+{v}_{2}}$×v₂，
∴$\frac{a}$=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$．

點評 本題考查的是菱形的判定、平行四邊形的性質和判定，掌握平行四邊形的性質定理和判定定理、菱形的判定定理是解題的關鍵，注意分情況討論思想的應用．