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1.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,AD=2AB,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F,垂足為O.
(1)如圖1,連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形,并求AF的長;
(2)如圖2,動點P、Q分別從A、C兩點同時出發,沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周,即點P自A→F→B→A停止,點Q自C→D→E→C停止.在運動過程中,
①已知點P的速度為每秒5cm,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒.當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求t的值;
②若點P、Q的速度分別為v1、v2(cm/s),點P、Q的運動路程分別為a、b(單位:cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形,試探究a與b滿足的數量關系.

分析 (1)先證明四邊形ABCD為平行四邊形,再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定,根據勾股定理即可求AF的長;
(2)①分情況討論可知,P點在BF上,Q點在ED上時,才能構成平行四邊形,根據平行四邊形的性質列出方程求解即可;
②由①的結論用v1、v2表示出A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時所需的時間,計算即可.

解答 (1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE.
∵EF垂直平分AC,
∴OA=OC.
∵在△AOE和△COF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}\\{∠AEF=∠CFE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OE=OF.
∵EF⊥AC,
∴四邊形AFCE為菱形.
設菱形的邊長AF=CF=xcm,則BF=(8-x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理得:AB2+BF2=AF2
即42+(8-x)2=x2,
解得:x=5,
∴AF=5;
(2)①解:根據題意得,P點AF上時,Q點CD上,此時A,C,P,Q四點不可能構成平行四邊形;
同理P點AB上時,Q點DE或CE上,也不能構成平行四邊形.
∴只有當P點在BF上,Q點在ED上時,才能構成平行四邊形,
∴以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,PC=QA,
∵點P的速度為每秒5cm,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒,
∴PC=5t,QA=12-4t,
∴5t=12-4t,
解得:t=$\frac{4}{3}$,
∴以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,t=$\frac{4}{3}$秒;
②由①得,PC=QA時,以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形,
設運動時間為y秒,
則yv1=12-yv2,
解得,y=$\frac{12}{{v}_{1}+{v}_{2}}$,
∴a=$\frac{12}{{v}_{1}+{v}_{2}}$×v1,b=$\frac{12}{{v}_{1}+{v}_{2}}$×v2,
∴$\frac{a}$=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$.

點評 本題考查的是菱形的判定、平行四邊形的性質和判定,掌握平行四邊形的性質定理和判定定理、菱形的判定定理是解題的關鍵,注意分情況討論思想的應用.

練習冊系列答案
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