Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，Rt△OBC的兩條直角邊分別落在x軸、y軸上，且OB=1，OC=3，將△OBC繞原點O順時針旋轉90°得到△OAE，將△OBC沿y軸翻折得到△ODC，AE與CD交于點F．
（1）若拋物線過點A、B、C，求此拋物線的解析式；
（2）求△OAE與△ODC重疊的部分四邊形ODFE的面積；
（3）點M是第三象限內拋物線上的一動點，點M在何處時△AMC的面積最大？最大面積是多少？求出此時點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意易得點A、點B、點C的坐標，利用待定系數法求解即可；
（2）先求出點D及點E的坐標，繼而得出直線AE與直線CD的解析式，聯立求出點F坐標，根據S_{四邊形ODFE}=S_△AOE-S_△ADF，可得出答案．
（3）連接OM，設M點的坐標為（m，n），繼而表示出△AMC的面積，利用配方法確定最值，并得出點M的坐標．

解答：解：（1）∵OB=1，OC=3，
∴C（0，-3），B（1，0）
∵△OBC繞原點順時針旋轉90°得到△OAE，
∴A（-3，0），
所以拋物線過點A（-3，0），C（0，-3），B（1，0），
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），可得

a+b+c=0 c=-3 9a-3b+c=0

，
解得

a=1 b=2 c=-3

，
故過點A，B，C的拋物線的解析式為y=x²+2x-3．

（2）∵△OBC繞原點順時針旋轉90°得到△OAE，△OBC沿y軸翻折得到△COD，
∴E（0，-1），D（-1，0），
可求出直線AE的解析式為y=-

1

3

x-1，
直線DC的解析式為y=-3x-3，
聯立直線AE與直線DC的解析式：

y=- 1 3 x-1 y=-3x-3

解得：

x=- 3 4 y=- 3 4

，
∵點F為直線AE與直線DC交點，
∴點F坐標為（-

3

4

，-

3

4

），
∴

1

2

AD×|F_縱|=

3

4

，
S_{四邊形ODFE}=S_△AOE-S_△ADF=

3

2

-

3

4

=

3

4

．

（3）連接OM，AM，MC，設M點的坐標為（m，n），

∵點M在拋物線上，
∴n=m²+2m-3，
∴S_△AMC=S_△AMO+S_△OMC-S_△AOC=

1

2

OA•|m|+

1

2

OC•|n|-

1

2

OA•OC
=-

3

2

（m+n）-

9

2

=-

3

2

（m+n+3）
=-

3

2

（m²+3m）
=-

3

2

（m+

3

2

）²+

27

8

，
∵0＜m＜3，
∴當m=-

3

2

時，n=-

15

4

，△AMC的面積有最大值，
即當點M的坐標為（-

3

2

，-

15

4

）時，△AMC的面積有最大值．

點評：本題考查了二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、不規則圖形的面積、兩直線的交點及配方法求二次函數最值得知識，綜合性較強，難點在第三問，關鍵是設處點M的坐標，用含m的式子表示出三角形的面積．