Question

已拋物線y=3x²+ax+

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(3a2+2b)
（1）甲學生說：當a取任何不同的數值時，所對應的拋物線都有完全相同的形狀；乙學生說：a取不同的數值時，所對應的拋物線的形狀也不同．你認為哪位學生說法正確，為什么？
（2）若取a=-2，a=3時所對應的拋物線的頂點分別為A、B．請你求出直線AB的解析式．并判斷：當a取其它實數時，所對應的拋物線的頂點是否也在直線AB上？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據y=3x²+ax+

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(3a2+2b)，二次項系數3決定拋物線的開口方向和大小，即可判斷對錯．
（2）先求出點A及B的坐標，根據待定系數法求出直線AB的解析式再進行下一步的判斷．

解答：解：（1）根據y=3x²+ax+

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(3a2+2b)，二次項系數3決定拋物線的開口方向和大小，所以a取任何不同的數值時，對應的拋物線的形狀完全相同．
（2）當a=-2時，拋物線為y=3x²-2x+

1

36

（12+2b），頂點坐標為（

1

3

，

1

18

b）；
當a=3時，拋物線為y=3x²+3x+

1

36

（27+2b），頂點坐標為（-

1

2

，

1

18

b）；
設直線AB的解析式為y=kx+n，則

1 3 k+n= 1 18 b - 1 2 k+n= 1 18 b

，
解得

k=0 n= 1 18 b

．
即直線AB的解析式為y=

1

18

b．
當a取其它實數時，所對應的拋物線的頂點也在直線AB上．理由如下：
∵拋物線y=3x²+ax+

1

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(3a2+2b)的頂點坐標為（-

a

6

，

1

18

b），
∴無論a取何值，此拋物線的頂點縱坐標都是

1

18

b，
即頂點在直線y=

1

18

b上．
故當a取其它實數時，所對應的拋物線的頂點也在直線AB上．

點評：本題考查了二次函數圖象與系數的關系，待定系數法求函數的解析式及判定一個點在直線上的方法．由于本題運用待定系數法求出的函數y=

1

18

b是常數函數，此知識點初中教材不要求掌握，因此本題屬于競賽題型，有一定難度．