Question

已知：拋物線y=-

3

x²-2

3

（a-1）x-

3

（a²-2a）與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜1＜x₂．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用a表示）；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C，求△ABC的面積；
（3）若a是整數(shù)，P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)不重合），在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN，記線段MN的中點(diǎn)為Q，求拋物線的解析式及線段PQ的長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于A、B兩點(diǎn)是拋物線與x軸的交點(diǎn)，令拋物線的y=0，所得方程的根即為A、B的橫坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)可求出AB的長(zhǎng)，以AB為底，C點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可求出△ABC的面積；
（3）將x₁、x₂的表達(dá)式代入x₁＜1＜x₂中即可求出a的取值范圍，結(jié)合a是整數(shù)的條件可求出a的值，由此可確定拋物線的解析式；求PQ的取值范圍時(shí)，有兩種解法；
①過(guò)C作CD⊥x軸于D，連接CQ；根據(jù)拋物線的解析式，易求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得到AD、CD的長(zhǎng)，由此可求出∠BAC=60°，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性即可得到∠ABC=∠BAC=60°，由此可知△ABC是等邊三角形，而△AMP、△BNP也是等邊三角形，那么M、N分別在線段OC和線段BC上；易知CM∥PN，MP∥BC，則四邊形PNCM是平行四邊形，而Q是MN的中點(diǎn)，則Q也是CP的中點(diǎn)，即C、Q、P三點(diǎn)共線，由此可得PC=2PQ；在等邊三角形ABC中，P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，且不與A、B重合，因此PQ的取值范圍應(yīng)該在AD和AC長(zhǎng)之間，可據(jù)此求出PQ的取值范圍；
②分別過(guò)M、N作x軸的垂線，設(shè)垂足為M₁、N₁，可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出AM₁、MM₁以及BN₁、NN₁的長(zhǎng)，即可求出M、N的坐標(biāo)，由于Q是MN的中點(diǎn)，根據(jù)M、N的坐標(biāo)即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出PQ的長(zhǎng)，由于P在A、B間運(yùn)動(dòng)，因此P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為0～2，可據(jù)此求出PQ的取值范圍．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x₁、x₂是關(guān)于x的方程-

3

x2-2

3

(a-1)x-

3

(a2-2a)=0的解；
方程可化簡(jiǎn)為x²+2（a-1）x+（a²-2a）=0；
解方程，得x=-a或x=-a+2；
∵x₁＜x₂，-a＜-a+2，（1分）
∴x₁=-a，x₂=-a+2
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-a，0），B（-a+2，0）（2分）

（2）∵AB=2，頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為

3

，（3分）
∴△ABC的面積等于

3

；（4分）

（3）∵x₁＜1＜x₂，
∴-a＜1＜-a+2
∴-1＜a＜1；（5分）
∵a是整數(shù)，
∴a=0，
即所求拋物線的解析式為y=-

3

x²+2

3

x；（6分）
解法一：此時(shí)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（1，

3

）如圖，作CD⊥AB于D，連接CQ，
則AD=1，CD=

3

，tan∠BAC=

3

，
∴∠BAC=60°
由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知△ABC是等邊三角形；
由△APM和△BPN是等邊三角形，線段MN的中點(diǎn)為Q可得，
點(diǎn)M、N分別在AC和BC邊上，四邊形PMCN的平行四邊形，
C、Q、P三點(diǎn)共線，且PQ=

1

2

PC；（7分）
∵點(diǎn)P線段AB上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P與A、B兩點(diǎn)不重合，
DC≤PC＜AC，DC=

3

，AC=2，
∴

3

2

≤PQ＜1；（8分）

解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，0）（0＜x＜2）如圖，作MM₁⊥AB于M₁，NN₁⊥AB于N₁
∵△APM和△BPN是等邊三角形，且都在x軸上方，
∴AM=AP=x，BN=BP=2-x，∠MAP=60°，∠NBP=60°
∴AM₁=AM•cos∠MAB=

x

2

，
MM₁=AM•sin∠MAB=

3 x

2

，
BN₁=BN•cos∠NBP=

2-x

2

，
NN₁=BN•sin∠NBP=

2 3 - 3 x

2

∴AN₁=AB-BN₁=2-

2-x

2

=

2+x

2

∴M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分）別為M（

x

2

，

3 x

2

），N（

2+x

2

，

2 3 - 3 x

2

）
可得線段MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（

x+1

2

，

3

2

）
由勾股定理得PQ=

(x- x+1 2 )2+( 3 2 )2

=

1

2

(x-1)2+3

（7分）
∵點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P與A、B兩點(diǎn)不重合，0＜x＜2，
∴3≤（x-1）²+3＜4，
∴

3

2

≤PQ＜1．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，三角形面積的求法，二次函數(shù)解析式的確定，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，此題的難點(diǎn)在于PQ的取值范圍，熟練掌握并能靈活運(yùn)用拋物線、等邊三角形、不等式等相關(guān)知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．