Question

關于x的一元二次方程4x²+4（m-1）x+m²=0
（1）當m在什么范圍取值時，方程有兩個實數根？
（2）設方程有兩個實數根x₁，x₂，問m為何值時，？
（3）若方程有兩個實數根x₁，x₂，問x₁和x₂能否同號？若能同號，請求出相應m的取值范圍；若不能同號，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵當△=[4（m-1）]²-4×4m²=-8m+4≥0時，方程有兩個實數根，
即m≤，
∴當m≤時，方程有兩個實數根；

（2）根據根與系數關系得：x₁+x₂=-=1-m，x₁•x₂=，
∵x₁²+x₂²=17，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=17，
∴（1-m）²-=17＜
解得：m₁=8，m₂=-4，
∵當m≤時，方程有兩個實數根，
∴m=-4；

（3）∵由（1）知當m≤時，方程有兩個實數根，由（2）知x₁+x₂=-=1-m，x₁•x₂=，
∴1-m＞0，＞0，
∴當m≠0，且m≤時，x₁和x₂能同號，
即m的取值范圍是：m≠0，且m≤．
分析：（1）根據根的判別式，求出不等式[4（m-1）]²-4×4m²≥0的解集即可；
（2）根據根與系數的關系得出x₁+x₂=-=1-m，x₁•x₂=，化成（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=17代入求出即可；
（3）根據當m≤時，方程有兩個實數根和x₁+x₂=-=1-m，x₁•x₂=，推出1-m＞0，＞0，即可得出答案．
點評：本題考查了根的判別式和根與系數的關系，注意：一元二次方程根的情況與判別式△的關系及根與系數的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
（4）若一元二次方程有實數根，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．