Question

某批發市場批發甲、乙兩種水果，根據以往經驗和市場行情，預計夏季某一段時間內，甲種水果的銷售利潤y_甲（萬元）與進貨量x（噸）近似滿足函數關系y_甲=0.3x；乙種水果的銷售利潤y_乙（萬元）與進貨量x（噸）近似滿足函數關系y乙=-0.1x2+bx（其中b為常數），且進貨量x為1噸時，銷售利潤y_乙為1.4萬元
（1）若求y_乙（萬元）與x（噸）之間的函數關系式．并計算說明：乙種水果進貨多少的時候銷售利潤y_乙（萬元）才能最大？最大利潤是多少？
（2）甲種水果的銷售利潤y_甲（萬元）要達到乙種水果最大的銷售利潤y_乙（萬元），需要進貨多少噸？
（3）如果該批發市場準備進甲、乙兩種水果共10噸，請你通過計算說明如何進貨（這兩種水果各進多少噸）才能獲得銷售利潤之和最大，最大利潤是多少？

Answer 1

（1）由題意得：進貨量x為1噸時，銷售利潤y_乙為1.4萬元，
-1+b=1.4，
解得：b=2.4，
∴y_乙=-0.1x²+2.4x=-0.1（x²-24x）=-0.1（x-12） ²+14.4；

（2）當甲種水果的銷售利潤y_甲（萬元）要達到乙種水果最大的銷售利潤y_乙（萬元），
則0.3x=14.4，
解得：x=28，
答：需要進貨28噸；


（3）W=y_甲+y_乙=0.3（10-x）+（-0.1x²+2.4x），
∴W=-0.1x²+2.1x+3，
W=-0.1（t-10.5）²+6.6．
∴t=6時，W有最大值為：6.6．
∴10-6=4（噸）．
答：甲、乙兩種水果的進貨量分別為4噸和6噸時，獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是6.6萬元．