Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC邊上一動點，BD=nCD，CE⊥AD于F，交AB于E．
（1）若n=1，則

DF

CF

=

 

．

BD

AF

=

 

．
（2）若n=2，求

BE

AE

的值．
（3）當n=

 

時，

BE

AE

=

2

5

．

Answer 1

分析：（1）由條件可判定△DFC∽△DCA，得

DF

CF

=

DC

AC

，又知AC=BC，所以

DF

CF

=

1

2

，從而可得

BD

AF

=

5

4

；
（2）通過解直角三角形可知BE：AE=1：3；
（3）同理反過來可解得n=

3

2

．

解答：解：（1）∵∠CDF=∠CDA，∠CFD=∠ACB=90°，
∴△DFC∽△DCA，
∴

DF

CF

=

DC

AC

，
又∵AC=BC，BD=CD=

1

2

BC，
∴

DF

CF

=

1

2

，
設DF=x，則CF=2x，CD=

5

x，AC=2

5

x，由勾股定理得，AF=

AC2-CF2

=4x，
∴

BD

AF

=

5

4

；

（2）過點A作BC的平行線，與CE的延長線交于點G，則△CAG∽△DCA，△AEG∽△BEC，
設CD=x，則BD=nx，AC=BC=x+nx，
∵

CD

AC

=

AC

AG

，
∴AG=（n+1）²x，又

BE

AE

=

BC

AG

=

1

n+1

，
∴當n=2時，

BE

AE

=

1

3

．

（3）由（2）知，

BE

AE

=

1

n+1

，令

1

n+1

=

2

5

，解得n=

3

2

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定及性質，涉及到直角三角形的性質知識點．