Question

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm．
則：（1）平行四邊形ABCD的周長=

 

；
（2）平行四邊形ABCD的面積=

 

．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的性質和角平分線的性質求出∠EBC+∠ECB=90°，推出△EBC是直角三角形，根據勾股定理求出BC，根據等腰三角形的判定推出DE=CD，AB=AE，即可求出平行四邊形的周長；
（2）作EH⊥BC，垂足H，根據三角形的面積公式求出DH，根據面積求出即可．

解答：解：（1）∵BE和CE分別平分∠ABC和∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴

1

2

（∠ABC+∠DCB）=90°，
BE和CE分別是∠ABC和∠BCD平分線，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
△EBC是直角三角形，
根據勾股定理：BC=13，
∵AD∥BC，
∠DEC=∠ECB，（內錯角相等）
∠ECD=∠ECB，（已知）
∴∠DEC=∠ECD，
DE=CD，
同理AB=AE，
AB+CD=AE+DE=AD=BC=13，
∴平行四邊形ABCD周長=BC+AD+AB+CD=13+13+13=39，
故答案為：39．

（2）如圖，作EH⊥BC，垂足為H
S_△BEC=

1

2

BE×EC=

1

2

×12×5=30，
S_△BEC=

1

2

×BC×EH=13×EH×

1

2

，
13×EH×

1

2

=30，
EH=

60

13

，
∴S_{平行四邊形ABCD}=BC*EH=13×

60

13

=60，
故答案為：60．

點評：本題主要考查對平行四邊形的性質，等腰三角形的性質和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行線的性質，角平分線的性質，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．