Question

拋物線y=x²在直角坐標系中向下平移4個單位得到拋物線y₁，y₁與x軸的交點為A₁、B₁，與y軸的交點為O₁，A₁、B₁、O₁對應y=x²上的點依次為A、B、O．
（1）寫出y₁的解析式及A、B兩點的坐標；
（2）求拋物線Y和y₁及線段AA₁和BB₁圍成的圖形的面積；
（3）若平行于x軸的一條直線y=m與拋物線y交于P、Q兩點，與拋物線y₁交于R、S兩點，且P、Q兩點三等分線段RS，求m的值；
（4）若正比例函數y=kx（k≠0）與拋物線y₁交于M、N兩點，問點O能否平分線段MN，并說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線y=x²向下平移4個單位得拋物線y₁，
故y的頂點向下平移4個單位，
可得y₁=x²-4，令y=0，求得x=±2，
故坐標A（-2，4）、B（2，4）．

（2）連接AB，則拋物線y₁和A₁B₁圍成的圖形的面積等于
拋物線y和AB圍成的圖形的面積，
∴拋物線y₁和y₂及AA₁圖1和BB₁圍成的圖形的面積等于正方形AA₁BB₁的面積S=16．

（3）如圖1，
∵RP=PQ=QS，
∴RS=3PQ，
即2=6，解得m=．

（4）如圖2，點O不能平分線段MN，理由如下：
由，得x²-kx-4=0，
∴x₁+x₂=k≠0，
∴x₁≠-x₂，
∴OM≠ON．
分析：（1）拋物線y=x²向下平移4個單位得拋物線y₁，故y的頂點向下平移4個單位．故能得到解析式，令y=0，就能求得A、B兩點的坐標．（2）連接AB，則拋物線y₁和A₁B₁圍成的圖形的面積等于拋物線y和AB圍成的圖形的面積，故拋物線y₁和y₂及AA₁圖1和BB₁圍成的圖形的面積等于正方形AA₁BB₁的面積．（3）由RP=PQ=QS，可得RS=3PQ．進而求得m．（4）看點O能否平分線段MN，兩圖象交點橫坐標之和是不是等于0．
點評：本題是二次函數的綜合題，會求拋物線的解析式，涉及平移等知識點．此題不難．