Question

（2012•麗水）在直角坐標系中，點A是拋物線y=x²在第二象限上的點，連接OA，過點O作OB⊥OA，交拋物線于點B，以OA、OB為邊構造矩形AOBC．

（1）如圖1，當點A的橫坐標為

-1

時，矩形AOBC是正方形；
（2）如圖2，當點A的橫坐標為-

1

2

時，
①求點B的坐標；
②將拋物線y=x²作關于x軸的軸對稱變換得到拋物線y=-x²，試判斷拋物線y=-x²經過平移交換后，能否經過A，B，C三點？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點A作AD⊥x軸于點D，根據正方形的對角線平分一組對角可得∠AOC=45°，所以∠AOD=45°，從而得到△AOD是等腰直角三角形，設點A坐標為（-a，a），然后利用點A在拋物線上，把點的坐標代入解析式計算即可得解；
（2）①過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，先利用拋物線解析式求出AE的長度，然后證明△AEO和△OFB相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出OF與BF的關系，然后利用點B在拋物線上，設出點B的坐標代入拋物線解析式計算即可得解；
②過點C作CG⊥BF于點G，可以證明△AEO和△BGC全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出點C的坐標，再根據對稱變換以及平移變換不改變拋物線的形狀利用待定系數法求出過點A、B的拋物線解析式，把點C的坐標代入所求解析式進行驗證變換后的解析式是否經過點C，如果經過點C，把拋物線解析式轉化為頂點式解析式，根據頂點坐標寫出變換過程即可．

解答：解：（1）如圖，過點A作AD⊥x軸于點D，
∵矩形AOBC是正方形，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD=90°-45°=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
設點A的坐標為（-a，a）（a≠0），
則（-a）²=a，
解得a₁=1，a₂=0（舍去），
∴點A的橫坐標-a=-1，
故答案為：-1；

（2）①過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，
當x=-

1

2

時，y=（-

1

2

）²=

1

4

，
即OE=

1

2

，AE=

1

4

，
∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°，
∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠BOF，
又∵∠AEO=∠BFO=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴

OF

BF

=

AE

EO

=

1 4

1 2

=

1

2

，
設OF=t，則BF=2t，
∴t²=2t，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2，
∴點B（2，4）；

②過點C作CG⊥FB的延長線于點G，
∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠AOE=∠FBO，
∴∠EAO=∠CBG，
在△AEO和△BGC中，

∠AEO=∠G=90° ∠EAO=∠CBG AO=CB

，
∴△AEO≌△BGC（AAS），
∴CG=OE=

1

2

，BG=AE=

1

4

．
∴x_c=2-

1

2

=

3

2

，y_c=4+

1

4

=

17

4

，
∴點C（

3

2

，

17

4

），
設過A（-

1

2

，

1

4

）、B（2，4）兩點的拋物線解析式為y=-x²+bx+c，由題意得，

- 1 4 - 1 2 b+c= 1 4 -4+2b+c=4

，
解得

b=3 c=2

，
∴經過A、B兩點的拋物線解析式為y=-x²+3x+2，
當x=

3

2

時，y=-（

3

2

）²+3×

3

2

+2=

17

4

，所以點C也在此拋物線上，
故經過A、B、C三點的拋物線解析式為y=-x²+3x+2=-（x-

3

2

）²+

17

4

．
平移方案：先將拋物線y=-x²向右平移

3

2

個單位，再向上平移

17

4

個單位得到拋物線y=-（x-

3

2

）²+

17

4

．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，包括正方形的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，待定系數法求拋物線解析式，綜合性較強，難度較大，要注意利用點的對稱、平移變換來解釋拋物線的對稱平移變換，利用點研究線也是常用的方法之一．