Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點M，且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標分別是A（），B（），D（3，0）．連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON．若拋物線經過點D、M、N．

（1）求拋物線的解析式．

（2）拋物線上是否存在點P，使得PA=PC，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）設拋物線與x軸的另一個交點為E，點Q是拋物線的對稱軸上的一個動點，當點Q在什么位置時有|QE-QC|最大？并求出最大值．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC與x軸的交點，∴M（0，2），

∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），則，解得，∴；

（2）連接AC交y軸與G，∵M是BC的中點，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，即G（0，1），

∵∠ABC=90°，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分線，要使PA=PC，即點P在AC的垂直平分線上，故P在直線BG上，

∴點P為直線BG與拋物線的交點，

設直線BG的解析式為，則，解得，∴，

∴，解得，，

∴點P（）或P（），

（3）∵，∴對稱軸，

令，解得，，∴E（，0），

故E、D關于直線對稱，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，

要使|QE-QC|最大，則延長DC與相交于點Q，即點Q為直線DC與直線的交點，

由于M為BC的中點，∴C（1，2），設直線CD的解析式為y=kx+b，

則，解得，∴，

當時，，

故當Q在（）的位置時，|QE-QC|最大，

過點C作CF⊥x軸，垂足為F，則CD=．

 

 

解析:略