Question

【題目】在證明定理“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，小明給出如下部分證明過程．

已知:在中，分別是邊的中點．

求證： ．

證明：如圖，延長到點，使，連接，

···

（1）補全求證：

（2）請根據添加的輔助線，寫出完整的證明過程；

（3）若求邊的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），且；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據需要證明的定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即可寫出答案；

（2）根據已知以及添加的輔助線，可證得△ADE△CFE，進而可證明四邊形BDFC是平行四邊形，又因為DE=FE，即可證明結論；

（3）在△ABC中，利用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可求解．

（1）根據題意，求證為：DE//BC，且DE=BC，

（2）點E是AC的中點，

∴AE=CE，

又∵EF=ED，∠AED=∠CEF，

∴△ADE△CFE，

∴AD=CF，∠A=∠ECF，

∴AD//CF，

∴AB//CF，

∵點D是AB的中點，

∴AD=BD，

∴BD=CF，

∴四邊形BDFC是平行四邊形，

∴DE//BC，DF=BC，

∵DE=FE，

∴DE=BC．

（3）∵DF=8，

∴BC=8，

∵CE=3，

∴AC=6，

∴BC-ACABBC+AC，即2AB．