Question

如圖，已知⊙O的弦AB等于半徑，連接OB并延長使BC=OB．
（1）∠ABC=______．
（2）AC與⊙O有什么關系？請證明你的結論；
（3）在⊙O上，是否存在點D，使得AD=AC？若存在，請畫出圖形，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證△ABO是等邊三角形，根據三角形的外角的性質即可求解；
（2）AC是⊙O的切線．△OAB為等邊三角形，則∠OAB=60°，然后根據等腰三角形的性質：等邊對等角，即可求得∠BAC的度數，從而求得∠OAC=90°，從而證得AC是⊙O的切線；
（3）延長BO交⊙O于點D，即為所求的點，利用ASA證明：△CAO≌△DAB即可證得．
解答：解：（1）120°；

（2）AC是⊙O的切線；
證明：∵AB=OB=OA，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠OBA=∠AOB=60°．OA=OB=BA，
∵BC=BO，
∴BC=BA，
∴∠C=∠CAB，
又∵∠OBA=∠C+∠CAB=2∠C，
即2∠C=60°，
∴∠C=30°
在△OAC中，∵∠O+∠C=60°+30°=90°，
∴∠OAC=90°，
∴AC是⊙O的切線；

（3）存在．
如圖2，延長BO交⊙O于點D，即為所求的點．
證明如下：
連接AD，∵BD為直徑，∴∠DAB=90°．
在△CAO和△DAB中，
∵，
∴△CAO≌△DAB（ASA），
∴AC=AD．
點評：本題考查了切線的判定以及三角形的全等的判定與性質，切線的判定常用的方法是轉化成證明垂直的問題．