Question

如果二次函數y=ax²+2x+c的圖象的最高點是M（x₀，y₀），并且二次函數圖象過點P（1，

3

2

），若x取x₀±n（n=1，2，3…）時，相應的函數值為y₀-

1

2

n²．
（1）求二次函數的解析式并畫出圖象；
（2）若二次函數圖象與x軸的交點為A、B，求△PAB的面積．

Answer 1

分析：（1）二次函數解析式只涉及兩個待定系數a，c．把x=1，y=

3

2

及由頂點x₀=-

1

a

，y₀=

ac-1

a

；得x=x₀±n=-

1

a

±n，y=y₀-

1

2

n²=

ac-1

a

-

1

2

n²．分別代入二次函數解析式即可；
（2）△PAB的面積=AB×點P的縱坐標÷2．

解答：解：（1）將P（1，

3

2

），代入y=ax²+2x+c中得a+c+2=

3

2

，
并且a＜0，
∴x₀=-

1

a

，y₀=

4ac-4

4a

=

ac-1

a

，
∴y=ax²+2x+c=a（x+

1

a

）²+

ac-1

a

．
當x=x₀±n時，y=y₀-

1

2

n²．
代入y=ax²+2x+c=a（x+

1

a

）²+

ac-1

a

得：y₀-

1

2

n²=a（x₀±n+

1

a

）²+

ac-1

a

，
整理得：an²+

1

2

n²=0，
解得：a=-

1

2

，
把a=-

1

2

代入a+c+2=

3

2

得：c=0，
∴y=-

1

2

x²+2x；

（2）由拋物線解析式可知A（0，0），B（4，0），又P（1，

3

2

），
∴S_△PAB=

1

2

×4×

3

2

=3．

點評：主要考查了用待定系數法求二次函數解析式，涉及的字母多，運算有一定難度，在確定了拋物線解析式后，可根據圖形及相應點的坐標求面積．