Question

已知二次函數y=x²+ax+a-2
（1）證明：不論a取何值，拋物線y=x²+ax+a-2的頂點Q總在x軸的下方；
（2）設拋物線y=x²+ax+a-2與y軸交于點C，如果過點C且平行于x軸的直線與該拋物線有兩個不同的交點，并設另一個交點為點D，問：△QCD能否是等邊三角形？若能，請求出相應的二次函數解析式；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證明：不論a取何值，拋物線y=x²+ax+a-2的頂點Q總在x軸的下方，只要證明拋物線與x軸，有兩個不同的交點，即證明x²+ax+a-2=0有兩個不同的解．即判別式大于0即可．
（2）Q是拋物線的頂點，C、D的橫坐標相同，因而C、D一定關于對稱軸對稱，因而△CDQ一定是等腰三角形．如果三角形是等邊三角形，則Q作QP⊥CD，垂足為P，則需QP=

3

2

CD，CD、QP的長度都可以用a表示出來，因而就可以得到一個關于a的方程，就可以求出a的值．

解答：證明：（1）：∵判別式△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4＞0，
∴拋物線與x軸總有兩個不同的交點．
又∵拋物線開口向上，
∴拋物線的頂點在x軸下方．
或由二次函數解析式得：y=（x+

a

2

）²-

1

4

a²+a-2．
∵拋物線的頂點坐標-

1

4

a²+a-2=-[

1

4

（a-2）²+1]＜0，
當a取任何實數時總成立．
∴不論a取任何值，拋物線的頂點總在x軸下方．
（2）由條件得：拋物線頂點Q（-

a

2

，-

1

4

a²+a-2），點C（0，a-2），當a≠0時，過點C存在平行于x軸的直線與拋物線交于另一個點D，此時CD=|-a|，點Q到CD的距離為|（a-2）-（-

1

4

a²+a-2）|=

1

4

a²，自Q作QP⊥CD，垂足為P，要使△QCD為等邊三角形，則需QP=

3

2

CD，
即

1

4

a²=

3

2

|-a|，
∵a≠0，
∴解得a=±2

3

，（或由CD=CQ，或由CP=

1

2

，CQ等求得a的值），
∴△QCD可以是等邊△，
此時對應的二次函數解析式為y=x²+2

3

x+2

3

-2或y=x²-2

3

x-2

3

-2．

點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系，二次函數與x軸有兩個交點，即對應的一元二次方程有兩個不同的解．