Question

定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC²=BC•AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點．
如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．
（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；
（2）求出線段AD的長．

Answer 1

解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴=，即=，
∴AD²=AC•CD．
∴點D是線段AC的黃金分割點．

（2）∵點D是線段AC的黃金分割點，
∴AD=AC=．
分析：（1）判斷△ABC∽△BDC，根據對應邊成比例可得出答案．
（2）根據黃金比值即可求出AD的長度．
點評：本題考查了黃金分割的知識，解答本題的關鍵是仔細審題，理解黃金分割的定義，注意掌握黃金比值．