Question

【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點，過二次函數圖象上的點，作軸的垂線交軸于點.

（1）如圖1，為線段上方拋物線上的一點，在軸上取點，點、為軸上的兩個動點，點在點的上方且連接，當四邊形的面積最大時，求的最小值.

（2）如圖2，點在線段上，連接，將沿直線翻折，點的對應點為，將沿射線平移個單位得，在拋物線上取一點，使得以為頂點的三角形是等腰三角形，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）（7，3），（，），（，），（13，6），（10，）.

【解析】

（1）把四邊形PACO沿OA分成△OAP與△OAC，由于△OAC三邊確定，面積為定值，故△OAP面積最大時四邊形面積也最大．過點P作x軸垂線交OA于D，設點P橫坐標為t，則能用t表示PD的長，進而得到△OAP關于t的二次函數關系式，用公式法可求得t＝時△OAP面積最大，即求得此時點P坐標．把點P向下平移1個單位得P'，易證四邊形MNP'P是平行四邊形，所以PM＝P'N．過點O作經過第二、四象限的直線l，并使直線l與x軸夾角為60°，過點N作NG⊥直線l于點G，則由30°角所對直角邊等于斜邊一半可知NG＝NO．所以PM＋MN＋NO可轉化為P'N＋NG＋1，易得當點P'、N、G在同一直線上最小．把PD延長交直線l于點F，構造特殊Rt△P'FG和Rt△OEF，利用點P坐標和30°、60°的三角函數即可求得P'G的長．

（2）由點B、C、Q的坐標求CQ的長和點C'坐標；過點Q'作x軸的垂線段Q'H，易證△CBQ∽△CHQ'，故有，求得CH、HQ'的長即求得點Q'坐標，進而得到向右向上平移的距離，求得點A'、C'的坐標．求直線CQ解析式，設CQ上的點M橫坐標為m，用兩點間距離公式可得用m表示A'M和C'M的長．因為△A'MC'是等腰三角形，分三種情況討論，得到關于m的方程，求解即求得相應的m的值，進而得點M坐標．

解：（1）如圖1，過點O作直線l，使直線l經過第二、四象限且與x軸夾角為60°；

過點P作PF⊥x軸于點E，交OA于點D，交直線l于點F；在PF上截取PP'＝1；過點N作NG⊥直線l于點G

∵A（3，3），AB⊥x軸于點B

∴直線OA解析式為y＝x，OB＝AB＝3

∵C（1，0）

∴S△AOC＝OCAB＝×1×3＝，是定值

設P（t，t2＋4t）（0＜t＜3）

∴D（t，t）

∴PD＝t2＋4tt＝t2＋3t

∴S△OAP＝S△OPD＋S△APD＝PDOE＋PDBE＝PDOB＝（t23t）

∴t＝=時，S△OAP最大

此時，S四邊形PACO＝S△AOC＋S△OAP最大

yP＝（）2＋3×＝

∴P（，）

∴P'E＝PEPP'＝1＝，即P'（,）

∵點M、N在y軸上且MN＝1

∴PP'＝MN，PP'∥MN

∴四邊形MNP'P是平行四邊形

∴PM＝P'N

∵∠NGO＝90°，∠NOG＝90°60°＝30°

∴Rt△ONG中，NG＝NO

∴PM＋MN＋NO＝P'N＋NG＋1

∴當點P'、N、G在同一直線上，即P'G⊥直線l時，PM＋MN＋NO＝P'G＋1最小

∵OE＝，∠EOF＝60°，∠OEF＝90°

∴Rt△OEF中，∠OFE＝30°，tan∠EOF＝＝

∴EF＝OE＝

∴P'F＝P'E＋EF＝+

∴Rt△P'GF中，P'G＝P'F＝

∴P'G＋1＝＋1＝

∴PM＋MN＋NO的最小值為

（2）延長A'Q'交x軸于點H

∵C（1，0），Q（3，1），QB⊥x軸于點B

∴CB＝2，BQ＝1

∴CQ＝=

∵△AQC沿直線AB翻折得△AQC'

∴B（3，0）是CC'的中點

∴C'（5，0）

∵平移距離QQ'＝3

∴CQ'＝CQ＋QQ'＝4

∵QB∥Q'H

∴△CBQ∽△CHQ'

∴

∴CH＝4CB＝8，yQ'＝HQ'＝4BQ＝4

∴xQ'＝OC＋CH＝1＋8＝9

∴Q'（9，4）

∴點Q（3，1）向右平移6個單位，向上平移3個單位得到點Q'（9，4）

∴A'（9，6），C'（11，3）

∴A'C'＝

設直線CQ解析式為y＝kx＋b

∴

解得：

∴直線CQ：y＝x

設射線CQ上的點M（m，m）（m＞1）

∴A'M2＝（9m）2＋（6m+）2＝（9m）2＋（）2

C'M2＝（11m）2＋（3m+）2＝（11m）2＋（）2

∵△A'MC'是等腰三角形

故①若A'M＝A'C'，則（9m）2＋（）2＝13

解得：m1＝7，m2＝

∴M（7，3）或（，）

②若C'M＝A'C'，則（11m）2＋（）2＝13

解得：m1＝，m2＝13

∴M（，）或（13，6）

③若A'M＝C'M，則（9m）2＋（）2＝（11m）2＋（）2

解得：m＝10

∴M（10，）

綜上所述，點M坐標為（7，3），（，），（，），（13，6），（10，）.