Question

如圖，A、B、C、D是⊙O上的四個點，AB=AC，AD交BC于點E．
（1）求證：∠ABC=∠ADB；
（2）若AE=2，ED=4，求AB的長；
（3）若BD為⊙O的直徑，在（2）的條件下，判斷AC與BD的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AB=AC，那么弧AB=弧AC，根據圓周角定理即可得出結論．
（2）可通過相似三角形得出線段成比例，然后求長度，（1）中已得出∠ABC=∠ADB，那么三角形ABE，ABE就相似（有一個公共角）．可得出關于AE、AB、AD的關系式，有AE的長，有AD的長，那么就能求出AB的長了．
（3）可從角的度數入手，根據（2）中得出的數據不難求出∠D的度數，也就求出了∠ABD、∠ACB、∠ABC的度數，然后根據計算得出∠CBD和∠ACB的度數，進行比較，看他們是否平行或是其他的什么位置關系．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴弧AB=弧AC．
∴∠ABC=∠ADB．

（2）解：∵∠ABE=∠ADB，∠BAE=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB．
∴=．
∵AE=2，AD=AE+ED=2+4=6，
∴=．
∴AB=2．

（3）解：AC∥BD．理由如下：
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°．
∵AB=2，AD=6，
∴在Rt△BAD中，tan∠BDA==．
∴∠BDA=30°．
∴∠ACB=30°．
∴∠ACB=∠ABC=30°．
∴∠BAC=120°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°．
∴∠CAD=∠BDA．
∴AC∥BD．
點評：本題重點考查了同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角及相似三角形的知識．