Question

代數(shù)式的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為五個(gè)多項(xiàng)式相乘，按多項(xiàng)式乘法法則，展開(kāi)合并同類(lèi)項(xiàng)后其乘積為：a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a，其中a₅、a₄、a₃、a₂、a₁、a為乘積展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)，因此，=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a．
（1）求a與a₅的值；
（2）求（a+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²的值．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)所給信息，和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的特點(diǎn)，
（1）令x=0可求出a的值．又因?yàn)閍₅是x⁵的系數(shù)，可求出a₅的值．
（2）當(dāng)x=1時(shí)，（+1）⁵=a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a①
當(dāng)x=-1時(shí)，（-+1）⁵=-a₅+a₄-a₃+a₂-a₁+a②
再對(duì)所求式子變形，把①②代入化簡(jiǎn)即可．
解答：解：（1）∵（x+1）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a，
令x=0，得到a=1．
∵a₅是x⁵的系數(shù)，
∴a₅=（）⁵=4．

（2）∵（x+1）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a在上述等式中：
當(dāng)x=1時(shí)，（+1）⁵=a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a，
當(dāng)x=-1時(shí)，（-+1）⁵=-a₅+a₄-a₃+a₂-a₁+a，
又∵（a+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²，
=（a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）•（a-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅），
=（+1）⁵（-+1）⁵，
=（1-2）⁵，
=-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，讀懂題目信息并利用好信息是解題的關(guān)鍵，利用了特殊值代入法來(lái)化簡(jiǎn)求值使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便．