Question

兩個反比例函數y=

k

x

和y=

1

x

在第一象限內的圖象如圖所示，點P在y=

k

x

的圖象上，PC⊥x軸于點C，交y=

1

x

的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交y=

1

x

的圖象于點B，當點P在y=

k

x

的圖象上運動時，以下結論：①△ODB與△OCA的面積相等；②四邊形PAOB的面積不會發生變化；③PA與PB始終相等；④當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點．其中一定正確的是

 

．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而A、B兩點都在y=

1

x

的圖象上，故有x₁y₁=x₂y₂=1，而S_△ODB=

1

2

×BD×OD=

1

2

x₂y₂=

1

2

，S_△OCA=

1

2

×OC×AC=

1

2

x₁y₁=

1

2

，故①正確；
由A、B兩點坐標可知P（x₁，y₂），P點在y=

k

x

的圖象上，故S_矩形OCPD=OC×PD=x₁y₂=k，根據S_{四邊形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△ODB-S_△OCA，計算結果，故②正確；
由已知得x₁y₂=k，即x₁•

1

x2

=k，即x₁=kx₂，由A、B、P三點坐標可知PA=y₂-y₁=

1

x2

-

1

x1

=

k-1

k x2

，PB=x₁-x₂，=（k-1）x₂，故③錯誤；
當點A是PC的中點時，y₂=2y₁，代入x₁y₂=k中，得2x₁y₁=k，故k=2，代入x₁=kx₂中，得x₁=2x₂，可知④正確．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁y₁=x₂y₂=1，
∵S_△ODB=

1

2

×BD×OD=

1

2

x₂y₂=

1

2

，S_△OCA=

1

2

×OC×AC=

1

2

x₁y₁=

1

2

，故①正確；

（2）由已知，得P（x₁，y₂），
∵P點在y=

k

x

的圖象上，
∴S_矩形OCPD=OC×PD=x₁y₂=k，
∴S_{四邊形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△ODB-S_△OCA=k-

1

2

-

1

2

=k-1，故②正確；

（3）由已知得x₁y₂=k，即x₁•

1

x2

=k，
∴x₁=kx₂，
根據題意，得PA=y₂-y₁=

1

x2

-

1

x1

=

k-1

k x2

，PB=x₁-x₂，=（k-1）x₂，故③錯誤；

（4）當點A是PC的中點時，y₂=2y₁，
代入x₁y₂=k中，得2x₁y₁=k，
∴k=2，
代入x₁=kx₂中，得x₁=2x₂，故④正確．

故本題答案為：①②④．

點評：本題考查了反比例函數性質的綜合運用，涉及點的坐標轉化，相等長度的表示方法，三角形、四邊形面積的計算，充分運用雙曲線上點的橫坐標與縱坐標的積等于反比例系數k．