Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=6，BC=12，點E在AD邊上，且AE：ED=1：2，連接CE，點P是AB邊上的一個動點，（P不與A，B重合）過點P作PQ∥CE，交BC于Q，設BP=x，CQ=y，
（1）求cosB的值；
（2）求y與x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）連接EQ，試探索△EQC有無可能是直角三角形？若可能，試求出x的值；若不能，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點A作AH⊥BC，易求得cosB；
（2）過點E作EF∥AB，則可得出BF=AE，EF=AB，FC的長，又BP=x，BQ=12-y，不難得△BPQ∽△FEC，從而得出y與x的函數關系式；
（3）顯然∠ECQ≠90°，可計算出tan∠ECQ，cos∠ECQ，分為兩種情況：若∠EQC=90°，若∠QEC=90°，求出x的值即可．

解答：解：（1）過點A作AH⊥BC，則BH=3，從而cosB=

3

5

．（3分）

（2）過點E作EF∥AB交BC于F點，則BF=AE=2，EF=AB=5，FC=10，
又BP=x，BQ=12-y，
不難得△BPQ∽△FEC，
∴

BP

BQ

=

FE

FC

，即

x

12-y

=

5

10

，（6分）
∴y=-2x+12，（0＜x＜5）（8分）

（3）顯然∠ECQ≠90°，且tan∠ECQ=

4

7

，CE=

65

，cos∠ECQ=

7

65

65

，（9分）
若∠EQC=90°，則CQ=7，即y=7，從而x=

5

2

；（11分）
若∠QEC=90°，則cos∠ECQ=

EC

QC

=

7

65

65

，即

65

y

=

7

65

65

，
y=

65

7

，從而x=

19

14

；（（13分）
綜上，x=

5

2

或x=

19

14

．（14分）

點評：本題是一道綜合題，考查了相似三角形的判定和性質、解直角三角形以及函數解析式的確定．