Question

現在各地房產開發商，為了獲取更大利益，縮短樓間距，以增加住宅樓棟數．我市某小區正在興建的若干幢20層住宅樓，國家規定普通住宅層高宜為2.80米．如果樓間距過小，將影響其他住戶的采光（如圖所示，窗戶高1.3米）．
       
太陽高度角       不影響采光          稍微影響            完全影響
（1）我市的太陽高度角（即正午太陽光線與水平面的夾角）：夏至日為81.4度，冬至日為34.88度。
了不影響各住戶的采光，兩棟住宅樓的樓間距至少為多少米？
（2）有關規定：平行布置住宅樓，其建筑間距應不小于南側建筑高度的1.2倍；按照此規定，是否影響北側住宅樓住戶的全年的采光？若有影響，試求哪些樓層的住戶受到影響？（本題參考值：sin81.4º="0.99," cos81.4º="0.15," tan81.4º=6.61;sin34.88º="0.57," cos34.88º="0.82," tan34.88º=0.70）

Answer 1

（1）78.6米;（2）北側住宅樓1至3樓的住戶的采光受影響，4樓及4樓以上住戶不受影響.

試題分析：本題考查了將實際問題轉化為直角三角形中的數學問題，可通過作輔助線構造直角三角形，再把條件和問題轉化到這個直角三角形中，使問題解決．(1) 過點C作CE⊥AB，垂足為E，利用三角函數求出CE的寬度即是兩樓間的間距.若求采光是否受影響.應求陽光照到墻上多高，決定幾樓是否受影響.
（2）在直角三角形ACE中，由正切函數可得AE的長，進一步得到CD的長，從而求解．
試題解析：(1) 如圖所示：
            
AC為太陽光線，太陽高度角選擇冬至日的34.88度，即∠ACE=34.880，樓高AB為2.80×20=56米，窗臺CD高為1米；過點C作CE垂直AB于點E，所以AE=AB－BE=AB－CD=55米；
在直角三角形ACE中，由tan∠ACE=，得：BD=CE= 即：兩棟住宅樓的樓間距至少為78.6米。
(2) 利用（1）題中的圖：此時∠ACE=34.88⁰，樓高AB=2.80×20=56米，樓間距BD=CE
=AB×1.2=67.2米；
在直角三角形ACE中，由tan∠ACE=，得：AE=CE×tan∠ACE=67.2×0.70=47.04m
則CD=BE=AB－AE=8.96m
而 8.96-2.8×3=0.56＜1，故北側住宅樓1至3樓的住戶的采光受影響，4樓及4樓以上住戶不受影響。