Question

如果外切的兩圓⊙O₁和⊙O₂的半徑分別為2和4，那么半徑為6，與⊙O₁和⊙O₂都相切的圓有

1. A.
   4個
2. B.
   5個
3. C.
   6個
4. D.
   7個

Answer 1

B
分析：設與⊙O₁和⊙O₂都相切的圓的圓心為A，根據題意得△AO₁O₂的三邊為6，8，10，由勾股定理的逆定理得△AO₁O₂為直角三角形，分別以O₁、O₂為圓心，以8，10為半徑，畫弧有四個交點，以這4個交點為圓心，6為半徑作圓，有4種情況；還有一種情況：連接O₁O₂，并延長和反向延長，交圓于兩點B，C，以BC為直徑作圓即可．
解答：設與⊙O₁和⊙O₂都相切的圓的圓心為A，
∴AO₁=8，AO₂=10，O₁O₂=10，
∴△AO₁O₂為直角三角形，
以點O₁為圓心，8為半徑畫弧，再以點O₂為圓心，10為半徑畫弧，有兩個交點，再以交點為圓心，6為半徑作圓，有2種情況；
以點O₁為圓心，10為半徑畫弧，再以點O₂為圓心，8為半徑畫弧，有兩個交點，再以交點為圓心，6為半徑作圓，有2種情況；
連接O₁O₂，并延長和反向延長，交圓于兩點B，C，以BC為直徑作圓，有1種情況；
∴共有5種情況，
故選B．
點評：本題考查了相切兩圓的性質，勾股定理的逆定理，分類討論思想是解題的關鍵．