Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，E，F分別為邊AB，CD上一動點，AE＝CF，分別以DE，BF為對稱軸翻折△ADE，△BCF，點A，C的對稱點分別為P，Q．若點P，Q，E，F恰好在同一直線上，且PQ＝1，則EF的長為_____．

Answer 1

【答案】5或

【解析】

過點E作，垂足為G，首先證明為等腰三角形，然后設，然后分兩種情況求解：I.當QF與PE不重疊時，由翻折的性質可得到，則， II. 當QF與PE重疊時，：EF＝DF＝2x﹣1，FG＝x﹣1，然后在中，依據勾股定理列方程求解即可．

解：I.當QF與PE不重疊時，如圖所示：過點E作EG⊥DC，垂足為G．

設AE＝FC＝x．

由翻折的性質可知：∠AED＝∠DEP，EP＝AE＝FC＝QF＝x，則EF＝2x+1．

∵AE∥DG，

∴∠AED＝∠EDF．

∴∠DEP＝∠EDF．

∴EF＝DF．

∴GF＝DF﹣DG＝x+1．

在Rt△EGF中，EF2＝EG2+GF2，即(2x+1)2＝42+(x+1)2，解得：x＝2(負值已舍去)．

∴EF＝2x+1＝2×2+1＝5．

II. 當QF與PE重疊時，備用圖中，同法可得：EF＝DF＝2x﹣1，FG＝x﹣1，

在Rt△EFG中，∵EF2＝EG2+FG2，

∴(2x﹣1)2＝42+(x﹣1)2，

∴x＝或﹣2(舍棄)，

∴EF＝2x﹣1＝

故答案為：5或．