Question

（2005•桂林）已知∠MON=90°，等邊三角形ABC的一個頂點A是射線OM上的一定點，頂點B與點O重合，頂點C在∠MON內部．
（1）當頂點B在射線ON上移動到B₁時，連接AB₁，請在∠MON內部作出以AB₁為一邊的等邊三角形AB₁C₁（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（2）設AB₁與OC交于點Q，AC的延長線與B₁C₁交于點D．求證：△ACQ∽△AB₁D；
（3）連接CC₁，試猜想∠ACC₁為多少度？并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別以A、B₁為圓心，AB₁為半徑，作弧在∠MON內部交于C₁；
（2）兩三角形有一公共角，且∠ACQ=∠AB₁D=60°，即可證明△ACQ∽△AB₁D；
（3）猜測∠ACC₁=90°，證明△AOB₁≌△ACC₁最后根據全等三角形的對應角相等即可求出．
解答：解：（1）作圖如圖．

（2）∵∠CAQ=∠B1AD，∠ACQ=∠AB₁D=60°，
∴△ACQ∽△AB₁D（AA）．

（3）猜測∠ACC₁=90°．
∵OA=AC，∠OAB₁=∠CAC₁=60°-∠CAQ，AB1=AC1，
∴△AOB₁≌△ACC₁（SAS），
∴∠ACC₁=∠AOB₁=90°．
故∠ACC₁為90度．
點評：此題主要考查等邊三角形的作法以及等邊三角形的性質在三角形相似和全等中的應用．