Question

數形結合作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數解形”；或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系，即“以形助數”．
如浙教版九上課本第109頁作業題第2題：如圖1，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D為垂足．易證得兩個結論：（1）AC•BC=AB•CD   （2）AC²=AD•AB
（1）請你用數形結合的“以數解形”思想來解：如圖2，已知在△ABC中（AC＞BC），∠ACB=90°，CD⊥AB，D為垂足，CM平分∠ACB，且BC、AC是方程x²-14x+48=0的兩個根，求AD、MD的長．
（2）請你用數形結合的“以形助數”思想來解：設a、b、c、d都是正數，滿足a：b=c：d，且a最大．求證：a+d＞b+c（提示：不訪設AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，構造圖1）

Answer 1

【答案】分析：（1）首先通過解方程x²-14x+48=0求得AC、AB的值（AC＞AB）（觀察圖形得知），根據勾股定理求得AB=10；然后由△ACD∽△ABC的性質求得AD=6.4；最后由角平分線的性質求得MD的值；
（2）設AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，構造圖1，由S_△ABC=底×高求得AB•CD=AC•BC，所以2AB•CD=2AC•BC①；再由勾股定理，得AB²=AC²+BC²②，根據①②解得（AB+CD）²＞（AC+BC）²，即a+d＞b+c．
解答：解：（1）顯然，方程x²-14x+48=0的兩根為6和8，
又AC＞BC，
∴AC=8，BC=6，
由勾股定理AB=10；
△ACD∽△ABC，得AC²=AD•AB，
∴AD=6.4；
∵CM平分∠ACB，
∴AM：MB=AC：CB，
解得，AM=，
∴MD=AD-AM=；

（2）解：不訪設AB=a，CD=d，AC=b，BC=c．
由三角形面積公式，得AB•CD=AC•BC，
2AB•CD=2AC•BC；
又勾股定理，得AB²=AC²+BC²，
∴AB²+2AB•CD=AC²+BC²+2AC•BC（等式性質），
∴AB²+2AB•CD=（AC+BC）²，
∴AB²+2AB•CD+CD²＞（AC+BC）²，
∴（AB+CD）²＞（AC+BC）²；
又AB、CD、AC、BC均大于零，
∴AB+CD＞AC+BC即a+d＞b+c．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理及因式分解法解一元二次方程．解答（2）的難點是由等式AB²+2AB•CD=AC²+BC²+2AC•BC（等式性質），推到出不等式（AB+CD）²＞（AC+BC）²．