Question

已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列結論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S_△APD＋S_△APB＝．其中正確結論的序號是

A．①③④           B．①②③           C．②③④           D．①②④

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試題分析：①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再結合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，結合三角形的外角的性質，易得∠BEP=90°，即可證；②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，結合△AEP是等腰直角三角形，可證△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；④連接BD，求出△ABD的面積，然后減去△BDP的面積即可．

①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，

∴∠EAB=∠PAD，

又∵AE=AP，AB=AD，

∴△APD≌△AEB；

故此選項成立；

③∵△APD≌△AEB，

∴∠APD=∠AEB，

又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，

∴∠BEP=∠PAE=90°，

∴EB⊥ED；

故此選項成立；

②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，

∵AE=AP，∠EAP=90°，

∴∠AEP=∠APE=45°，

又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，

∴∠FEB=∠FBE=45°，

又∵

∴BF=EF=

故此選項不正確；

④連接BD，在Rt△AEP中，

∵AE=AP=1，

∴

又∵PB＝

∴

∵△APD≌△AEB

∴PD=BE=2

故此選項成立；

故選A.

考點：全等三角形的判定和性質、正方形的性質、正方形和三角形的面積公式、勾股定理

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作出選擇、填空的最后一題出現.